Question

在平面直角坐標系中，已知A1(-

2

，0)，A2(

2

，0)，P(x，y)，M(x，1)，N(x，-2)，若實數λ使得λ2

OM

•

ON

=

A1P

•

A2P

（O為坐標原點）
（1）求P點的軌跡方程，并討論P點的軌跡類型；
（2）當λ=

2

2

時，若過點B（0，2）的直線l與（1）中P點的軌跡交于不同的兩點E，F（E在B，F之間），試求△OBE與OBF面積之比的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據已知點的坐標，分別表示出

OM

，

ON

，

A1P

，

A2P

代入λ2

OM

•

ON

=

A1P

•

A2P

中即可求得x和y的關系式，根據λ的值的不同判斷出方程表示的不同軌跡．
（2）把λ代入（1）中求得軌跡方程，可知其軌跡為橢圓，進而分別表示出△OBE和△OBF的面積，設出EF的直線方程與橢圓方程聯立消去y，根據韋達定理表示出x₁+x₂和x₁•x₂代入

(x1+x2)2

x1•x2

中根據k的范圍確定

x1

x2

，進而求得兩三角形面積之比．

解答：解：（1）

OM

=(x，1)，

ON

=(x，-2)，

A1P

=(x+

2

，y)，

A2P

=(x-

2

，y)
∵λ2

OM

•

ON

=

A1P

•

A2P

∴（x²-2）λ²=x²-2+y²化簡得：（1-λ²）x²+y²=2（1-λ²）
①λ=±1時方程為y=0軌跡為一條直線
②λ=0時方程為x²+y²=2軌跡為圓
③λ∈（-1，0）∪（0，1）時方程為

x2

2

+

y2

2(1-λ2)

=1軌跡為橢圓
④．λ∈（-∞，-1）∪（1，+∞）時方程為

x2

2

-

y2

2(λ2-1)

=1軌跡為雙曲線
（2）∵λ=

2

2

，∴P點軌跡方程為

x2

2

+y2=1，
∴S△OBE=

1

2

×2×|x1|，S△OBF=

1

2

×2×|x2|
∴S_△OBE：S_△OBF=|x₁|：|x₂|
設直線EF直線方程為y=kx+2，聯立方程可得：（1+2k²）x²+8kx+6=0．
∴△=64k2-24-48k2＞0，∴k2＞

3

2

.x1+x2=-

8k

1+2k2

，x1•x2=

6

1+2k2

，
∴

(x1+x2)2

x1•x2

=

64k2

6(1+2k2)

=

x1

x2

+

x2

x1

+2，∵k2＞

3

2

，∴

64k2

6(1+2k2)

∈(4，

16

3

)
∴

x1

x2

∈(

1

3

，1)∪(1，3)
由題意可知：S_△OBE＜S_△OBF，所以

S△OBE

S△OBF

∈(

1

3

，1)．

點評：本題主要考查了軌跡方程，直線與橢圓的關系．考查了學生綜合分析問題的能力．