Question

（2012•泉州模擬）設f（x）=asin2x+bcos2x，其中a，b∈R，ab≠0．若f(x)≤|f(

π

6

)|對一切x∈R恒成立，則
①f(

11π

12

)=0；
②|f(

7π

12

)|＜|f(

π

5

)|；
③f（x）既不是奇函數也不是偶函數；
④f（x）的單調遞增區間是[kπ+

π

6

， kπ+

2π

3

] (k∈Z)；
⑤存在經過點（a，b）的直線與函數f（x）的圖象不相交．
以上結論正確的是

①③

（寫出所有正確結論的編號）．

Answer 1

分析：先化簡f（x）的解析式，利用已知條件中的不等式恒成立，得到|f(

π

6

)|是三角函數的最大值，得到x=

π

6

是三角函數的對稱軸，將其代入整體角令整體角等于kπ+

π

2

求出輔助角θ，再通過整體處理的思想研究函數的性質．

解答：解：∵f（x）=asin2x+bcos2x=

a2+b2

sin（2x+θ）
∵f(x)≤|f(

π

6

)|
∴2×

π

6

+θ=kπ+

π

2

∴θ=kπ+

π

6

∴f（x）═

a2+b2

sin（2x+kπ+

π

6

）=±

a2+b2

sin（2x+

π

6

）
對于①f(

11π

12

)=±

a2+b2

sin（2×

11π

12

+

π

6

）=0，故①對
對于②，|f（

7π

10

）|＞|f（

π

5

）|，故②錯
對于③，f（x）不是奇函數也不是偶函數
對于④，由于f（x）的解析式中有±，故單調性分情況討論，故④不對
對于⑤∵要使經過點（a，b）的直線與函數f（x）的圖象不相交，則此直線須與橫軸平行，
且|b|＞

a2+b2

，此時平方得b²＞a²+b²這不可能，矛盾，
∴不存在經過點（a，b）的直線于函數f（x）的圖象不相交故⑤錯
故答案為：①③．

點評：本題考查三角函數的對稱軸過三角函數的最值點、考查研究三角函數的性質常用整體處理的思想方法．