Question

（滿分12分）某專賣店銷售一新款服裝，日銷售量（單位為件）f (n) 與時間n（1≤n≤30、nÎ N*）的函數關系如下圖所示，其中函數f (n) 圖象中的點位于斜率為 5 和－3 的兩條直線上，兩直線交點的橫坐標為m，且第m天日銷售量最大.
(Ⅰ)求f (n) 的表達式，及前m天的銷售總數；
(Ⅱ)按以往經驗，當該專賣店銷售某款服裝的總數超過 400 件時，市面上會流行該款服裝，而日銷售量連續下降并低于 30 件時，該款服裝將不再流行.試預測本款服裝在市面上流行的天數是否會超過 10 天？請說明理由.
 

Answer 1

(Ⅰ) f (n) = ，（nÎN*）
前 12 天的銷售總量為  354 件
(Ⅱ) 見解析

(I) 根據題意，設f (n) = （nÎN*），  1分
而    f (1) = 2，∴ 5 + a =" 2" Þa = －3．          2分
又     5m + a = －3m + b，∴b = 8m + a = 8m－3，         3分
∴    f (n) = （nÎN*）．       4分
由    f (m) = 57得m = 12．                   5分
∴    f (n) = ，（nÎN*） 6分
前 12 天的銷售總量為 5 (1 + 2 + 3 + … + 12)－3×12 =" 354" 件．         7分
(II)   第 13 天的銷售量為f (13) = －3×13 + 93 =" 54" 件，      8分
而 354 + 54 > 400 件，
∴    從第 14 天開始銷售總量超過 400 件，即開始流行．   9分
設第x 天的日銷售量開始低于 30 件 (12 < x≤ 30)，
即f (x) = －3x + 93 < 30 ，   10分
解得x > 21．        11分
∴    從第 22 天開始日銷售量低于 30 件．
∵     21－13 = 8，
∴    該服裝流行的時間不超過10天．       12分