Question

已知雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）上一點C，過雙曲線中心的直線交雙曲線于A，B兩點，記直線AC，BC的斜率分別為k₁，k₂，當

2

k1k2

+ln|k1|+ln|k2|最小時，雙曲線離心率為

 

．

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質

專題：計算題,不等式的解法及應用,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：設A（x₁，y₁），C（x₂，y₂），由雙曲線的對稱性得B（-x₁，-y₁），從而得到k₁k₂=

y2-y1

x2-x1

•

y2+y1

x2+x1

=

y22-y12

x22-x12

，再由構造法利用導數性質能求出雙曲線的離心率．

解答： 解：設A（x₁，y₁），C（x₂，y₂），
由題意知點A，B為過原點的直線與雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1的交點，
∴由雙曲線的對稱性得A，B關于原點對稱，
∴B（-x₁，-y₁），
∴k₁k₂=

y2-y1

x2-x1

•

y2+y1

x2+x1

=

y22-y12

x22-x12

，
∵點A，C都在雙曲線上，
∴

x12

a2

-

y12

b2

=1，

x22

a2

-

y22

b2

=1，
兩式相減，可得：k₁k₂=

b2

a2

＞0，
對于

2

k1k2

+ln|k1|+ln|k2|=

2

k1k2

+ln|k₁k₂|，
函數y=

2

x

+lnx（x＞0），
由y′=-

2

x2

+

1

x

=0，得x=0（舍）或x=2，
x＞2時，y′＞0，0＜x＜2時，y′＜0，
∴當x=2時，函數y=

2

x

+lnx（x＞0）取得最小值，
∴當

2

k1k2

+ln（k₁k₂）最小時，k₁k₂=

b2

a2

=2，
∴e=

1+ b2 a2

=

3

．
故答案為：

3

．

點評：本題考查雙曲線的離心率的求法，涉及到導數、最值、雙曲線、離心率等知識點，綜合性強，解題時要注意構造法的合理運用．