Question

如圖，點P在橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)上，F₁、F₂分別是橢圓的左、右焦點，過點P作橢圓右準線的垂線，垂足為M，若四邊形PF₁F₂M為菱形，則橢圓的離心率是（　　）

• A、

  2

  2

• B、

  3

  2

• C、

  3 -1

  2

• D、

  5 -1

  2

Answer 1

分析：由菱形的性質可得PM=F₁F₂=2c=PF₁，根據橢圓的第二定義可得  

PF2

PM

=e=

c

a

，解方程求得答案．

解答：解：∵四邊形PF₁F₂M為菱形，∴PM=F₁F₂=2c，且 PM=PF₁=2c．
再由橢圓的定義可得 PF₁+PF₂=2a，∴PF₂=2a-2c．
根據橢圓的第二定義可得 

PF2

PM

=e=

c

a

，
∴

2a-2c

2c

=

c

a

，∴c²=a²-ac，∴e²+e-1=0，
根據0＜e＜1，解得e=

-1+ 5

2

，
故橢圓的離心率e=

-1+ 5

2

，
故選 D．

點評：本題主要考查了橢圓的定義和簡單性質，求出 PF₂=2a-2c，是解題的關鍵．