Question

設函數f(x)=x⁴+bx²+cx+d，當x=t₁時，f(x)有極小值，
(1)若b=-6時，函數f(x)有極大值，求實數c的取值范圍；
(2)在(1)的條件下，若存在實數c，使函數f(x)在閉區間[m-2，m+2]上單調遞增，求實數m的取值范圍； (3)若函數f(x)只有一個極值點，且存在t₂∈(t₁，t₁+1)，使f′(t₂)=0，證明：函數g(x)=f(x)-x²+t₁x在區間(t₁，t₂)內最多有一個零點．

Answer 1

解：(1)因為，
所以h(x)=f′(x)=x³-12x+c，
由題設，方程h(x)=0有三個互異的實根，
考察函數，則由h′(x)=0，得x=±2，
，
所以故-16＜c＜16．
(2)存在c∈(-16，16)，使f′(x)≥0，即，
所以，即在區間[m-2，m+2]上恒成立，
所以[m-2，m+2]是不等式(*)解集的子集，
所以或m-2＞2，即-2＜m＜0，或m＞4。
(3)由題設，可得存在α，β∈R，使，
且恒成立，
又f′(t₂)=0，且在x=t₂兩側同號，所以，
另一方面，，
因為，且，
所以，
所以，
所以，
而x-t₁＞0，所以g′(x)＜0，
所以g(x)在(t₁，t₂)內單調遞減；
從而g(x)在(t₁，t₂)內最多有一個零點．