Question

已知函數，，

（Ⅰ）當時，若在上單調遞增，求的取值范圍；

（Ⅱ）求滿足下列條件的所有實數對：當是整數時，存在，使得是的最大值，是的最小值；

（Ⅲ）對滿足（Ⅱ）的條件的一個實數對，試構造一個定義在，且上的函數，使當時，，當時，取得最大值的自變量的值構成以為首項的等差數列。

Answer 1

解：（Ⅰ）當時，，

若，，則在上單調遞減，不符題意。

故，要使在上單調遞增，必須滿足 ，∴ 。  （4分）

（Ⅱ）若，，則無最大值，故，

∴為二次函數，

要使有最大值，必須滿足，即且，

此時，時，有最大值。

       又取最小值時，，依題意，有，

       則，

∵且，∴，得，此時或。

∴滿足條件的實數對是。   （9分）

（Ⅲ）當實數對是時，         （14分）

依題意，只需構造以2（或2的正整數倍）為周期的周期函數即可。

如對，，

此時，，

       故