Question

設函數，其中為常數。

（Ⅰ）當時，判斷函數在定義域上的單調性；

（Ⅱ）若函數有極值點，求的取值范圍及的極值點。

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）函數在定義域上單調遞增；（Ⅱ）當且僅當時有極值點; 當時，有惟一最小值點；當時，有一個極大值點和一個極小值點．

【解析】

試題分析：（Ⅰ）函數在定義域上的單調性的方法，一是利用定義，二是利用導數，此題既有代數函數又有對數函數，顯然利用導數判斷，只需對求導，判斷的符號即可；（Ⅱ）求的極值，只需對求導即可，利用導數求函數的極值一般分為四個步驟：①確定函數的定義域；②求出；③令，列表；④確定函數的極值．此題由（Ⅰ）得，當時，函數無極值點，只需討論的情況，解的根，討論在范圍內根的個數，從而確定的取值范圍及的極值點，值得注意的是，求出的根時，忽略討論根是否在定義域內，而出錯．

試題解析：（Ⅰ）由題意知，的定義域為，　 ∴當時，，函數在定義域上單調遞增．

（Ⅱ）①由（Ⅰ）得，當時，函數無極值點，②時，有兩個相同的解，但當時,，當時，時，函數在上無極值點，③當時，有兩個不同解，，時，，而,此時 ，隨在定義域上的變化情況如下表：

	減	極小值	增

由此表可知：當時，有惟一極小值點 

ii)   當時，0<<1，此時，，隨的變化情況如下表：

	增	極大值	減	極小值	增

由此表可知：時，有一個極大值，和一個極小值點； 綜上所述：當且僅當時有極值點; 當時，有惟一最小值點；當時，有一個極大值點和一個極小值點

考點：導數與函數的單調性、導數與函數的極值，考查學生的基本推理能力及運算能力．