Question

已知正項數列的前項和為，且和滿足：.
(1)求的通項公式；
(2)設,求的前項和；
(3)在(2)的條件下，對任意，都成立，求整數的最大值.

Answer 1

（1）；（2）；（3）整數的最大值為7.

試題分析：（1）用代替等式中的，得到，兩式相減并化簡得到，進而依題意可得，進而由等差數列的定義及通項公式可得數列的通項公式；（2）由（1）中求出的通項公式得到，從而根據裂項求和的方法可得到；（3）對任意，都成立，等價于，只需要求出數列的最小項的值即可，這時可用的方法來探討數列的單調性，從而確定，最后求解不等式，從而可確定整數的最大值.
試題解析：∵①
∴②
①－②得
即
化簡得
∵
∴
∴是以1為首項，2為公差的等差數列
∴
(2)
∴
(3)由(2)知

∴數列是遞增數列
∴
∴
∴整數的最大值是.項和與通項公式的關系；2.等差數列的通項公式；3.裂項求和的方法；4.數列最小項的求法.