Question

等差數列{a_n}的首項a₁=23，公差d為整數，且第6項為正數，從第7項起為負數．
（1）求此數列的公差d；
（2）設前n項和為S_n，指出S₁，S₂，…S_n中哪一個值最大，并說明理由．
（3）當前n項和S_n是正數時，求n的最大值．

Answer 1

分析：（1）利用等差數列的通項公式列出a₆＞0，a₇＜0，求出d的值；
（2）根據d＜0判斷{a_n}是遞減數列，再由a₆＞0，a₇＜0，得出n=6時，S_n取得最大值；
（3）由等差數列的前n項和公式列出不等式，解不等式即可．

解答：解：（1）由

a6＞0 a7＜0

得

23+5d＞0 23+6d＜0

?-

23

5

＜d＜-

23

6

∵d∈Z∴d=-4
（2）設前n項和為S_n，指出S₁，S₂，…S_n中哪一個值最大，并說明理由．Sn=23n+

n(n-1)

2

•(-4)=-2n2+25n=-2(n-

25

4

)2+

625

16

∴n=6時，S₆最大
（3）當前n項和S_n是正數時，求n的最大值．
Sn=23n+

n(n-1)

2

•(-4)=-2n2+25n＞0∴0＜n＜12.5
∴n的最大值為12

點評：本題考查了等差數列的性質、通項公式以及前n項和公式，以及數列的函數性質．（2）問d＜0判斷{a_n}是遞減數列，是解題的關鍵，屬于中檔題．