Question

已知函數(shù)　（為實(shí)常數(shù)）。

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）若函數(shù)在區(qū)間上無(wú)極值，求的取值范圍；

（Ⅲ）已知且，求證: .

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）在時(shí)遞增；在時(shí)遞減。

（Ⅱ）（Ⅲ）見(jiàn)解析

【解析】本試題主要是考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)極值和單調(diào)性方面的運(yùn)用以及利用導(dǎo)數(shù)來(lái)證明不等式的綜合問(wèn)題。

（1）因?yàn)楹瘮?shù)　（為實(shí)常數(shù)）。當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求解導(dǎo)數(shù)，然后解不等式得到結(jié)論。

（2）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012102514062128124126/SYS201210251407489375154684_DA.files/image009.png">，然后對(duì)于參數(shù)a進(jìn)行分類(lèi)討論得到單調(diào)性和極值問(wèn)題的判定。

（3）由（Ⅱ）知，當(dāng)時(shí)，在處取得最大值.

即.

利用放縮法得打結(jié)論。

解：(I)當(dāng)時(shí)，，其定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012102514062128124126/SYS201210251407489375154684_DA.files/image015.png">；

，

令，并結(jié)合定義域知； 令，并結(jié)合定義域知；

故在時(shí)遞增；在時(shí)遞減。

（II）,

①當(dāng)時(shí)，，在上遞減，無(wú)極值；

②當(dāng)時(shí)，在上遞增，在上遞減，故在處取得極大值.要使在區(qū)間上無(wú)極值，則.

綜上所述，的取值范圍是.  

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，當(dāng)時(shí)，在處取得最大值.

即.

令，則，即　，