Question

【題目】已知集合…，…，，對于…，，B＝（…，，定義A與B的差為

…，A與B之間的距離為.

（Ⅰ）若，求；

（Ⅱ）證明：對任意，有

（i），且；

（ii）三個數中至少有一個是偶數；

（Ⅲ）對于……，再定義一種A與B之間的運算，并寫出兩條該運算滿足的性質（不需證明）.

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析（3）見解析

【解析】分析：（Ⅰ）因為，所以；（Ⅱ）（i）設………，因為，故，…，n），分兩種情況討論即可的結果；（ii）設…，…，…，記

記…，由（i）可知，，，

即…，先推導出不可能全為奇數，即三個數中至少有一個是偶數，從而可得結論；（Ⅲ）定義＝，…，則.

詳解：（Ⅰ）因為，所以.

（Ⅱ）（i）設………，

因為，故，…，n），

即….

又…，n.

當時，有；

當時，有；

故

（ii）設…，…，…，

記

記…，由（i）可知：

，

，

，

即中1的個數為k，中1的個數為，…

設t是使成立的i的個數，則有，

由此可知，不可能全為奇數，即三個數中至少有一個是偶數.

（Ⅲ）如可定義A·B＝，…，則A·B＝B·A，（A·B）·C＝A·（B·C）.