Question

已知函數f（x）的定義域為I，導數f_n（x）滿足0＜f（x）＜2且fn（x）≠1，常數c₁為方程f（x）-x=0的實數根，常數c₂為方程f（x）-2x=0的實數根．
（1）若對任意[a，b]⊆I，存在x₀∈（a，b），使等式f（b）-f（a）=（b-a）f_n（x₀）成立．求證：方程f（x）-x=0不存在異于c₁的實數根；
（2）求證：當x＞c₂時，總有f（x）＜2x成立；
（3）對任意x₁、x₂，若滿足|x₁-c₁|＜1，|x₂-c₁|＜1，求證：|f（x₁）-f（x₂）|＜4．

Answer 1

證明：（1）假設方程f（x）-x=0有異于c₁的實根m，即f（m）=m，
則有m-c₁=f（m）-f（c₁）=（m-c₁）f_n（x₀）成立．
因為m≠c₁，所以必有f_n（x₀）=1，這與f_n（x）≠1矛盾，
因此方程f（x）-x=0不存在異于c₁的實數根．…（4分）
（2）令h（x）=f（x）-2x，
∵h_n（x）=f_n（x）-2＜0，∴函數h（x）為減函數．
又∵h（c₂）=f（c₂）-2c₂=0，∴當x＞c₂時，h（x）＜0，即f（x）＜2x成立．…（8分）
（3）不妨設x₁≤x₂，∵f_n（x）＞0，∴f（x）為增函數，即f（x₁）≤f（x₂）．
又∵f_n（x）＜2，∴函數f（x）-2x為減函數，即f（x₁）-2x₁≥f（x₂）-2x₂．
∴0≤f（x₂）-f（x₁）≤2（x₂-x₁）．
即|f（x₂）-f（x₁）|≤2|x₂-x₁|．
∵|x₂-x₁|=|x₂-c₁+c₁-x₁|≤|x₂-c₁|+|x₁-c₁|＜2，
∴|f（x₁）-f（x₂）|＜4．…（15分）