Question

有兩個(gè)投資項(xiàng)目A，B，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查與預(yù)測(cè)，A項(xiàng)目的利潤(rùn)與A項(xiàng)目的投資成正比，其關(guān)系如圖甲，B項(xiàng)目的利潤(rùn)與B項(xiàng)目的投資的算術(shù)平方根成正比，其關(guān)系如圖乙．（注：利潤(rùn)與投資單位：萬(wàn)元）

（1）分別將A，B兩個(gè)投資項(xiàng)目的利潤(rùn)表示為投資x（萬(wàn)元）的函數(shù)關(guān)系式；
（2）現(xiàn)將有10萬(wàn)元資金，將其中x（0≤x≤10）萬(wàn)元投資A項(xiàng)目，其余投資B項(xiàng)目．h（x）表示投資A項(xiàng)目所得利潤(rùn)與投資B項(xiàng)目所得利潤(rùn)之和．求h（x）的最大值，并指出x為何值時(shí)，h（x）取得最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由于A產(chǎn)品的利潤(rùn)與投資成正比，可設(shè)y₁=k₁•x，從圖1可以得到當(dāng)x=1時(shí)，y₁=0.25，當(dāng)x=2時(shí)，y₁=0.45，從而可以得到k₁，B產(chǎn)品的利潤(rùn)與投資的算術(shù)平方根成正比，可設(shè)y₂=k₂•，當(dāng)x=4時(shí)，y₂=2.5，當(dāng)x=9時(shí)，y₂=3.75，從而可得到k₂；
（2）設(shè)A產(chǎn)品投入x萬(wàn)元，則B產(chǎn)品投入10-x萬(wàn)元，設(shè)企業(yè)的利潤(rùn)為w萬(wàn)元，w=A產(chǎn)品的利潤(rùn)+B產(chǎn)品的利潤(rùn)．
解答：解：（1）投資為x萬(wàn)元，A產(chǎn)品的利潤(rùn)為y₁萬(wàn)元，B產(chǎn)品的利潤(rùn)為y₂萬(wàn)元，
由題設(shè)y₁=k₁•x，y₂=k₂•，由圖知y₁=x，（x≥0），y₂=，（x≥0）

（2）設(shè)A產(chǎn)品投入x萬(wàn)元，則B產(chǎn)品投入10-x萬(wàn)元，設(shè)企業(yè)的利潤(rùn)為w萬(wàn)元
w=y₁+y₂=，（0≤x≤10），
令 則 ，（0≤t≤）
當(dāng)t=，y_max≈4，此時(shí)x=10-=3.75；
∴當(dāng)A產(chǎn)品投入3.75萬(wàn)元，B產(chǎn)品投入6.25萬(wàn)元時(shí)，企業(yè)獲得最大利潤(rùn)約為萬(wàn)元．
點(diǎn)評(píng)：本題考查將實(shí)際問(wèn)題的最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題、考查利用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式、考查換元法注意新變量的范圍、二次函數(shù)的最值與對(duì)稱(chēng)軸有關(guān)．