Question

已知橢圓C的中心在原點，焦點在x軸上，離心率等于，它的一個頂點恰好是拋物線y²=的焦點．PQ過橢圓焦點且PQ⊥x軸，A、B是橢圓位于直線PQ兩側的兩動點．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若直線AB的斜率為1，求四邊形APBQ面積的最大值；
（3）當A、B運動時，滿足∠APQ=∠BPQ，試問直線AB的斜率是否為定值，請說明理由．

Answer 1

解：（1）設橢圓C的方程為
∵橢圓的一個頂點恰好是拋物線y²=的焦點，
∴a=
∵離心率等于，
∴，
∴c=1∴b=1
∴橢圓C的方程為；
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線AB的方程為y=x+t，
代入橢圓方程，消元可得3x²+4tx+2t²﹣2=0
由△＞0，解得﹣＜t＜
由韋達定理得x₁+x₂=﹣t，x₁x₂=．
∵PQ過橢圓焦點且PQ⊥x軸，
∴|PQ|=
∴四邊形APBQ的面積S=××|x₁﹣x₂|=×
∴t=0時，S_max=；
（3）當∠APQ=∠BPQ，則PA、PB的斜率之和為0，
設直線PA的斜率為k，則PB的斜率為﹣k，
PA的直線方程為y﹣=k（x﹣1），
與橢圓方程聯立，消元可得（1+2k²）x²+（2k﹣4k²）x+k²﹣2k﹣1=0
∴x₁+1=﹣
同理x₂+1=﹣
∴x₁+x₂=，x₁﹣x₂=﹣
∴y₁﹣y₂=k（x₁+x₂）﹣2k=，x₁﹣x₂=﹣
∴
∴直線AB的斜率為定值．