Question

設△ABC的內角A，B，C所對的邊為a，b，c，則下列命題正確的是______（寫出所有正確命題的序號）．
①若ab＞c²，則C＜

π

3

；
②若a+b＞2c，則C＜

π

3

；
③若a⁴+b⁴=c⁴，則C＜

π

2

；
④若（a+b）c＜2ab，則C＞

π

2

；
⑤若（a²+b²）c²＜2a²b²，則C＞

π

3

．

Answer 1

對于①，若ab＞c²，
根據余弦定理，可得cosC=

a2+b2-c2

2ab

＞

a2+b2-ab

2ab

≥

1

2

，
結合C為三角形的內角，可得C＜

π

3

，故正確；
對于②，若a+b＞2c，
根據余弦定理，可得c²=a²+b²-2abcosC，
∴4c²=4（a+b）²-8ab（1+cosC）＜（a+b）²，
可得3（a+b）²＜8ab（1+cosC），
結合2

ab

≤a+b，得到12ab≤3（a+b）²，
∴12ab＜8ab（1+cosC），解得cosC＞

1

2

，結合C為三角形的內角，可得C＜

π

3

，故正確；
對于③，若a⁴+b⁴=c⁴，則（a²+b²）²=c⁴+2a²+b²＞c⁴，
∴a²+b²＞c²，可得cosC=

a2+b2-c2

2ab

＞0，得C＜

π

2

，故正確；
對于④⑤，取a=b=2，c=1，可得（a+b）c＜2ab、（a²+b²）c²＜2a²b²成立，
但C為最小角，必定是銳角且小于

π

3

，故C＞

π

2

與C＞

π

3

圴不正確，得④⑤都是錯誤的．
故答案為：①②③．