Question

【題目】正方體的棱長為， 為的中點， 為線段的動點，過的平面截該正方體所得的截面記為，則下列命題正確的序號是_________.

①當時， 的面積為；

②當時， 為六邊形；

③當時， 與的交點滿足；

④當時， 為等腰梯形；

⑤當時， 為四邊形.

Answer 1

【答案】①③④⑤

【解析】如圖，當時，即Q為CC1中點，此時可得PQ∥AD1，AP=QD1=，故可得截面APQD1為等腰梯形，故④正確；

由上圖當點Q向C移動時，滿足，只需在DD1上取點M滿足AM∥PQ，即可得截面為四邊形APQM，故⑤正確；

③當CQ=時，如圖，

延長DD1至N，使D1N=，連接AN交A1D1于S，連接NQ交C1D1于R，連接SR，可證AN∥PQ，由△NRD1∽△QRC1，可得C1R：D1R=C1Q：D1N=1：2，故可得C1R=，故正確；

②由③可知當時，只需點Q上移即可，此時的截面形狀仍然上圖所示的APQRS，顯然為五邊形，故錯誤；

①當CQ=1時，Q與C1重合，取A1D1的中點F，連接AF，可證PC1∥AF，且PC1=AF，可知截面為APC1F為菱形，故其面積為，故正確．

故答案為：①③④⑤．