Question

如圖，DC⊥平面ABC，EA∥DC，AB=AC=AE=

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2

DC，M為BD的中點．
（Ⅰ）求證：EM∥平面ABC；
（Ⅱ）求證：平面AEM⊥平面BDC．

Answer 1

分析：（I）取BC的中點N，連接MN，AN，易證EANM是平行四邊形，從而得EM∥AN，利用線面平行的判定定理即可證得EM∥平面ABC；
（II）依題意，易證EM⊥平面BDC，利用面面垂直的判定定理即可證得平面AEM⊥平面BDC．

解答：證明：（I）取BC的中點N，連接MN，AN，
因為M為BD的中點，所以MN∥DC，且MN=

1

2

DC，
而EA∥DC且EA=

1

2

DC，
∴EA

∥

.

MN，
∴EANM是平行四邊形…2分
∴EM∥AN…3分
又因為EM?平面ABC，AN?平面ABC，
∴EM∥平面ABC，…5分
（II）
∵AB=AC，N為BC的中點，
∴AN⊥BC．
∵DC⊥平面ABC，AN?平面ABC，
∴DC⊥AN，
又DC∩BC=C，
∴AN⊥平面BDC，…7分
又AN∥EM，
∴EM⊥平面BDC，…9分
∵EM?平面AEM，
∴平面AEM⊥平面BDC…10分

點評：本題考查平面與平面垂直的判定，考查直線與平面平行的判斷，（Ⅰ）中證得EANM是平行四邊形，（Ⅱ）中證得EM⊥平面BDC是關鍵，考查推理證明的能力，屬于中檔題．