Question

【理科生做】已知點A、B的坐標分別是（0，-1），（0，1），直線AM、BM相交于點M，且它們的斜率之積為-1．
（1）求點M軌跡C的方程；
（2）若過點（2，0）且斜率為k的直線l與（1）中的軌跡C交于不同的兩點E、F（E在D、F之間），記△ODE與△ODF面積之比為λ，求關于λ和k的關系式，并求出λ取值范圍（O為坐標原點）．

Answer 1

分析：（1）設M（x，y），由題意可得k_AM•k_BM=-1，利用斜率計算公式可得

y+1

x

•

y-1

x

=-1（x≠0），化簡即可；
（2）如圖所示，設E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），（x₁＞0＞x₂）．則

S△ODE

S△ODF

=

|DE|

|DF|

=λ=

2-x1

2-x2

．（*）
直線l的方程為y=k（x-2）（0＜y≤1）與圓的方程聯立可得△＞0，再利用求根公式可得x₁，x₂，代入（*）即可．

解答：解：（1）設M（x，y），由題意可得k_AM•k_BM=-1，∴

y+1

x

•

y-1

x

=-1（x≠0），化為x²+y²=1（x≠0）．
∴點M軌跡C的方程為x²+y²=1（x≠0）；
（2）如圖所示，設E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），（x₁＞0＞x₂）．
則

S△ODE

S△ODF

=

|DE|

|DF|

=λ．
直線l的方程為y=k（x-2）．
聯立

y=k(x-2) x2+y2=1

，（0＜y≤1），化為（1+k²）x²-4k²x+4k²-1=0，
由△=16k⁴-4（1+k²）（4k²-1）＞0，及1≥y＞0，解得-

3

3

＜k＜0．
∴x=

4k2±2 1-3k2

2(1+k2)

，取x1=

2k2+ 1-3k2

1+k2

，x2=

2k2- 1-3k2

1+k2

．
∴λ=

2-x1

2-x2

=

2- 1-3k2

2+ 1-3k2

．由-

3

3

＜k＜0．
可得

1

3

＜λ＜1．

點評：熟練掌握圓的標準方程、斜率計算公式、直線與圓相交問題轉化為方程聯立得到△＞0及利用求根公式得到實數根、函數的單調性等是解題的關鍵．