Question

（2011•奉賢區二模）（理）已知F1(-

2

，0)和F2(

2

，0)，點T（x，y）滿足|

TF1

|+|

TF2

|=4，O為直角坐標原點，
（1）求點T的軌跡方程Γ；
（2）任意一條不過原點的直線L與軌跡方程Γ相交于點P，Q兩點，三條直線OP，OQ，PQ的斜率分別是k_OP、k_OQ、k_PQ，
k_PQ²=k_OP•k_OQ，求k_PQ．

Answer 1

分析：（1）由于點T（x，y）滿足|

TF1

|+|

TF2

|=4＞|

F1F2

|，故軌跡是以F₁，F₂為焦點的橢圓，從而可求軌跡方程；
（2）將執行方程與橢圓方程聯立，利用斜率公式，結合韋達定理即可證明．

解答：解：（1）由題意，點T的軌跡是以F₁，F₂為焦點的橢圓，且a=2，c=

2

從而所求軌跡方程為

x2

4

+

y2

2

=1（6分）
（2）設直線L的方程：y=kx+t（t≠0）（7分）

y=kx+t x2 4 + y2 2 =1

消去y得：（1+2k²）x²+4ktx+2t²-4=0，（9分）x1x2=

2t2-4

1+2k2

（10分）
消去x得：（1+2k²）y²-2yt+t²-4k²=0，y1y2=

t2-4k2

1+2k2

（12分）
∴kOP•kOQ=

y1

x1

•

y2

x2

=

y1y2

x1x2

=

t2-4k2

2t2-4

=k2，（14分）∴k2=

1

2

∴k=±

2

2

（16分）

點評：本題的考點是橢圓的標準方程，主要考查橢圓的定義，考查直線與曲線的位置關系，考查斜率公式，由較強的綜合性．