Question

（1）若實數x，y滿足：

x-y+1≤0 x＞0

，求

y

x

的范圍；
（2）設正數x，y滿足x+2y=1，求

1

x

+

1

y

的最小值；
（3）已知x＜

5

4

，求y=4x+

1

4x-5

-2的最大值．

Answer 1

考點：基本不等式

專題：不等式的解法及應用

分析：（1）根據不等式的性質可求

y

x

的范圍；
（2）利用基本不等式的性質即可求

1

x

+

1

y

的最小值；
（3）利用基本不等式的性質求y=4x+

1

4x-5

-2的最大值．

解答： 解：（1）由x-y+1≤0，即y≥x+1，
∵x＞0，
∴

y

x

≥

x+1

x

=1+

1

x

＞1，
即

y

x

的范圍是（1，+∞）．
（2）∵x+2y=1，
∴

1

x

+

1

y

=（x+2y）（

1

x

+

1

y

）=1+2+

2y

x

+

x

y

≥3+2

2y x • x y

=3+2

2

，
當且僅當

2y

x

=

x

y

，即x=

2

y時取等號，
故

1

x

+

1

y

的最小值是3+2

2

．
（3）∵x＜

5

4

，∴4x-5＜0，
則y=4x+

1

4x-5

-2=y=4x-5+

1

4x-5

+3≤-2

(5-4x)• 1 5-4x

+3=3-2=1，
故y=4x+

1

4x-5

-2的最大值為1．

點評：本題主要考查不等式的應用，要求熟練掌握基本不等式的應用，注意不等式成立的條件．