Question

已知長方形ABCD，AB=6，BC=7/4．以AB的中點0為原點建立如圖所示的平面直角坐標系x0y
（1）求以A、B為焦點，且過C、D兩點的橢圓C的標準方程；
（2）若P為橢圓C上的動點，M為過P且垂直于x軸的直線上的點，

|0P|

|0M|

=λ，求點M的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線．

Answer 1

分析：（1）由橢圓的定義可得2c=AB可求c，在長方形ABCD，由AB=6，BC=

7

4

可得AC，根據橢圓的定義可得，2a=CA+CB可求a，進而可求b及橢圓的方程
（2）設M（x，y），其中x∈[-4，4]．由已知

|0P|

|0M|

=λ，及點P在橢圓C上可得（（16λ²-9）x²+16λ²y²=112，x∈[-4，4]，根據方程的特點，故討論二次項系數16λ²-9=0，16λ²-9＞0，16λ²-9＜0三種情況討論，從而可得方程代表的曲線類型

解答：解：（1）由橢圓的定義可得2c=AB=6，c=3
在長方形ABCD，由AB=6，BC=

7

4

可得AC=

36+ 49 16

=

25

4

，
∴2a=CA+CB=8，a=4∴b²=a²-c²=7
橢圓的方程為

x2

16

+

y2

7

=1…（5分）
（2）設M（x，y），其中x∈[-4，4]．由已知

|0P|

|0M|

=λ，及點P在橢圓C上可得

9x2+112

16(x2+y2)

=λ2．整理得（（16λ²-9）x²+16λ²y²=112，x∈[-4，4]…（8分）
（i）λ=

3

4

時．化簡得9y²=112
所以點M的軌跡方程為y=±

4 7

3

(-4≤x≤4)，軌跡是兩條平行于x軸的線段．
（ii）λ≠

3

4

時，方程變形為

x2

112 16λ2-9

+

y2

112 16λ2

=1，其中x∈[-4，4]
當0＜λ＜

3

4

時，點M的軌跡為中心在原點、實軸在y軸上的雙曲線滿足-4≤x≤4的部分．
當

3

4

＜λ＜1時，點M的軌跡為中心在原點、長軸在x軸上的橢圓滿足-4≤x≤4的部分；
當λ≥1時，點M的軌跡為中心在原點、長軸在x軸上的橢圓…（13分）

點評：本題主要考查了利用橢圓的定義求解橢圓的參數a，c，b的值，進而求解橢圓的方程，及二次曲線表示橢圓、雙曲線、圓的條件的考查．