Question

如圖，四棱錐S-ABCD的正視圖是邊長為2的正方形，側視圖和俯視圖是全等的等腰三角形，直線邊長為2．
（1）求二面角C-SB-A的大小；
（2）P為棱SB上的點，當SP的長為何值時，CP⊥SA？

Answer 1

解（1）以D為坐標原點，分別以DS、DC、DA所在直線為x軸、y軸、z軸
建立空間直角坐標系．根據題意可得
平面SBC的一個法向量

m

=(1，1，0)（1分）
∵平面SAB的一個法向量

n

=(1，0，1)（2分）
∴cos＜

m

，

n

＞=

1

2

，得＜

m

，

n

＞=

π

3

（3分）
由圖形觀察，可得二面角C-SB-A是鈍二面角，
因此二面角C-SB-A大小為

2π

3

（4分）
（2）由（1），可得S（2，0，0），
B（0，2，2），C（0，2，0），A（0，0，2）
設

SP

=k

SB

=(-2k，2k，2k)，k∈R（5分）
∴

CP

•

SA

=8k-4（6分）
∵CP⊥SA，∴

CP

•

SA

=0，可得k=

1

2

（7分）
因此，

SP

=(-1，1，1)，得|

SP

|=

3

，
即當SP的長為

3

時，CP⊥SA．（8分）