Question

已知兩點及，點在以、為焦點的橢圓上，且、、構成等差數列．

(Ⅰ)求橢圓的方程；

(Ⅱ)如圖，動直線與橢圓有且僅有一個公共點，點是直線上的兩點，且，． 求四邊形面積的最大值．

 

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）

【解析】

試題分析：（1）確定橢圓標準方程 ，先定位后定量.由等差中項得，根據橢圓定義，得，又，所以可求，由橢圓焦點在軸，寫出橢圓方程；（2）將直線方程和橢圓方程聯立，并利用列方程，得的等式，求四邊形面積的最大值，關鍵在于建立關于面積的目標函數，然后確定函數的最大值即可，分和討論，當時，結合平面幾何知識，得（其中表示兩焦點到直線的距離），再結合得關于的函數，并求其范圍；當時，該四邊形是矩形，求其面積，從而確定的范圍，進而確定最大值.

試題解析：（1）依題意，設橢圓的方程為．

構成等差數列，

， ．

又，．

橢圓的方程為．

(2) 將直線的方程代入橢圓的方程中，得，由直線與橢圓僅有一個公共點知，，化簡得：．

設，，   （法一）當時，設直線的傾斜角為，則，，  

，

，當時，，，．當時，四邊形是矩形，．所以四邊形面積的最大值為．

（法二），

．

．

四邊形的面積， 

．

當且僅當時，，故．

所以四邊形的面積的最大值為．

考點：1、等差中項；2、橢圓的標準方程；3、直線和橢圓的位置關系.