Question

設(shè)動點P到兩定點F₁(-1，0 )和F₂(1，0 ) 的距離分別為d₁和d₂，∠F₁PF₂=2θ，且存在常數(shù)λ（0＜λ＜1），使得d₁d₂sin²θ=λ，
（1）證明：動點P的軌跡C為雙曲線，并求出C的方程；
（2）如圖過點F₂的直線與雙曲線C的右支交于A、B兩點，問：是否存在λ，使△F₁AB是以點B為直角頂點的等腰直角三角形？若存在，求出λ的值；若不存在，說明理由。

Answer 1

解：（1）在中，，
，
，
（小于2的常數(shù)），
故動點P的軌跡C是以為焦點，實軸長的雙曲線，
方程為。
（2）在中，設(shè)，
假設(shè)為等腰直角三角形，則

由②與③得，
則，
由⑤得，
，
，
，
故存在滿足題設(shè)條件。