Question

（甲）如圖，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面邊長為a，點M在邊BC上，DAMC₁是以點M為直角頂點的等腰直角三角形．

（1）求證：點M為邊BC的中點；

（2）求點C到平面AMC₁的距離；

（3）求二面角M-AC₁-C的大小．

（乙）如圖，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面是以ÐABC為直角的等腰直角三角形，AC=2a，BB₁=3a，D為A₁C₁的中點，E為B₁C的中點．

（1）求直線BE與A₁C所成的角；

（2）在線段AA₁上是否存在點F，使CF^平面B₁DF，若存在，求出；若不存在，說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

（甲）（1）證明：∵ DAMC1是以點M為直角頂點的等腰直角三角形， ∴ AM^C1M且AM=C1M．  ∵ 正三棱柱ABC-A1B1C1． ∴ CC1^底面ABC且底面ABC為正三角形．∴ C1M在底面內的射影為CM，AM^CM． ∵ 底面ABC是邊長為a的正三角形，∴ 點M為BC邊的中點． （2）解：過點C作CH^MC1，由（1）知AM^C1M且AM^CM， ∴ AM^平面C1CM  ∵ CH在平面C1CM內，∴ CH^AM，∴ CH^平面C1AM， 由（1）知，，且CC1^BC． ∴ ∴ ∴ 點C到平面AMC1的距離為 （3）解：過點C作CI^AC1于I，連結HI，∵ CH^平面C1AM， ∴ HI為CI在平面C1AM內的射影，∴ HI^AC1，ÐCIH是二角M-AC1-C的平面角． 在直角三角形ACC1中， ∴ ÐCIH=45°，∴ 二面角M-AC1-C的大小為45°． （乙）解：（1）以B為原點，建立空間直角坐標系． ∵ AC=2a，ÐABC=90°，∴ AB=BC= ∴ B(0，0，0)， ，，B1(0，0，3a) ∴ ，，∴ ， ∴ ，，∴ ∴ 故BE與A1C所成的角為 （2）假設存在點F，使CF^平面B1DF，不妨設AF=b，∴ ，，，，∵ ，∴ CF^B1D恒成立． 由或b=2a，故當或2a時，CF^平面B1DF．