Question

設M點是圓C：x²+（y-4）²=4上的動點，過點M作圓O：x²+y²=1的兩條切線，切點分別為A，B，切線MA，MB分別交x軸于D，E兩點．是否存在點M，使得線段DE被圓C在點M處的切線平分？若存在，求出點M的縱坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：設存在點M（x₀，y₀）滿足條件，設過點M且與圓O相切的直線方程為：y-y₀=k（x-x₀）通過點到直線的距離公式，求出直線MA，MB的斜率分別為k₁，k₂的關系，通過圓C在點M處的切線方程，求出切線與x軸的交點坐標，D，E的坐標，然后利用斜率關系式求出點M的縱坐標．

解答：解：設存在點M（x₀，y₀）滿足條件
設過點M且與圓O相切的直線方程為：y-y₀=k（x-x₀）
則由題意得，

|-kx0+y0|

1+k2

=1，化簡得：(x02-1)k2-2x0y0k+y02-1=0
設直線MA，MB的斜率分別為k₁，k₂，則k1+k2=

2x0y0

x02-1

，k1k2=

y02-1

x02-1

圓C在點M處的切線方程為y-y0=

-x0

y0-4

(x-x0)
令y=0，得切線與x軸的交點坐標為(

y02-4y0

x0

+x0，0)
又得D，E的坐標分別為(

-y0

k1

+x0，0)，(

-y0

k2

+x0，0)
由題意知，2(

y02-4y0

x0

+x0)=

-y0

k1

+x0+

-y0

k2

+x0
用韋達定理代入可得，

y 0-4

x0

=

-x0y0

y02-1

，與x02+(y0-4)2=4聯立，
得y0=

13+ 105

8

點評：本題考查直線與圓的位置關系，點到直線的距離公式的應用，圓的切線方程的應用，考查分析問題解決問題的能力．