Question

已知函數f(x)=ax³+bx²－3x在x=±1處取得極值.

   （Ⅰ）求函數f(x)的解析式；

　 （Ⅱ）求證：對于區間[－1，1]上任意兩個自變量的值x₁，x₂，都有|f(x₁)－f(x₂)|≤4；

   （Ⅲ）若過點A（1，m）（m≠－2）可作曲線y=f(x)的三條切線，求實數m的取值范圍.

Answer 1

解：

   （I）f′(x)=3ax²+2bx－3，依題意，f′(1)=f′(－1)=0，

        即…………………………………………2分

        解得a=1，b=0.

        ∴f(x)=x³－3x.……………………………………………………4分

   （II）∵f(x)=x³－3x,∴f′(x)=3x²－3=3(x+1)(x－1)，

當－1<x<1時，f′(x)<0，故f(x)在區間[－1，1]上為減函數，

f_max(x)=f(－1)=2，f_min(x)=f(1)=－2……………………………………6分

∵對于區間[－1，1]上任意兩個自變量的值x₁，x₂，

都有|f(x₁)－f(x₂)|≤|f_max(x) －f_min(x)|

|f(x₁)－f(x₂)|≤|f_max(x)－f_min(x)|=2－(－2)=4………………………………8分

   （III）f′(x)=3x²－3=3(x+1)(x－1)，

         ∵曲線方程為y=x³－3x，∴點A（1，m）不在曲線上.

設切點為M（x₀，y₀），則點M的坐標滿足

因，故切線的斜率為

，

整理得.

∵過點A（1，m）可作曲線的三條切線，

∴關于x₀方程=0有三個實根.……………………10分

設g(x­₀)= ，則g′(x₀)=6，

由g′(x₀)=0，得x₀=0或x₀­=1.

∴g(x₀)在（－∞，0），（1，+∞）上單調遞增，在（0，1）上單調遞減.

∴函數g(x₀)= 的極值點為x₀=0，x₀=1………………12分

∴關于x₀方程=0有三個實根的充要條件是

，解得－3<m<－2.

故所求的實數a的取值范圍是－3<m<－2.……………………14分