Question

對于任意實數a，關于x的方程log₂[2x²+（m+3）x+2m]=a總有實數解，則實數m的取值范圍是

{m|m≤1或m≥9}

．

Answer 1

分析：由對于任意實數a，關于x的方程log₂[2x²+（m+3）x+2m]=a總有實數解，知y=log₂[2x²+（m+3）x+2m]的值域為R．所以∴2x²+（m+3）x+2m必須至少取滿（0，+∞）．也就是說2x²+（m+3）x+2m的最小值要小于等于0．由此能求出實數m的取值范圍．

解答：解：∵對于任意實數a，關于x的方程log₂[2x²+（m+3）x+2m]=a總有實數解，
∴y=log₂[2x²+（m+3）x+2m]的值域為R．
∴2x²+（m+3）x+2m必須至少取滿（0，+∞）．
也就是說2x²+（m+3）x+2m的最小值要小于等于0．
對稱軸 x=-

m+3

4

，
最小值

-m2+10m-9

8

≤0，
即m²-10m+9≥0，
解得m≤1或m≥9．
∴數m的取值范圍是{m|m≤1或m≥9}．
故答案為：{m|m≤1或m≥9}．

點評：本題考查函數的恒成立問題，解題時要認真審題，仔細解答，注意對數函數的性質的靈活運用．