Question

多面體ABCD-A₁B₁C₁D₁的直觀圖，主視圖，俯視圖，左視圖如圖所示．

（1）求A₁A與平面ABCD所成角的正切值；
（2）求面AA₁D₁與面ABCD所成二面角的余弦值；
（3）求此多面體的體積．

Answer 1

分析：（1）先尋找直線與平面的所成角，取AB中點H，連接A₁H，根據線面所成角的定義可知∠A₁AB是A₁A與平面ABCD所成的角，在三角形A₁AB中求出此角的正切值即可；
（2）先尋找二面角的平面角，取AD中點K，連接D₁K，KH，取HK的中點M，取A₁D₁的中點N，連接MN，AM，AN，根據二面角平面角的定義可知∠MAN就是面AA₁D₁與面ABCD所成的二面角，然后在三角形MAN中求出此角的余弦值即可．
（3）根據該多面體為長方體削去四個全等的三棱錐，先求出三棱錐的體積，然后利用長方體的體積減去四個全等的三棱錐的體積即可求出所求．

解答：解：（1）由已知圖可得，平面A₁AB⊥平面ABCD，取AB中點H，連接A₁H，
在等腰△A₁AB中，有A₁H⊥AB，則A₁H⊥平面ABCD．
∴∠A₁AB是A₁A與平面ABCD所成的角．
∵A₁H=2AH，∴tan∠A1AB=

A1H

AH

=2．
故A₁A與平面ABCD所成角的正切值為2．
（2）解：取AD中點K，連接D₁K，KH，
同理有D₁K⊥平面ABCD，即△AHK是△AA₁D₁在平面ABCD內的射影．
取HK的中點M，取A₁D₁的中點N，連接MN，AM，AN，
則∠MAN就是面AA₁D₁與面ABCD所成的二面角．
∵MN=a，AM=

2

4

a，∴tan∠MAN=

MN

AM

=2

2

．即cos∠MAN=

1

3

．
∴面AA₁D₁與面ABCD所成二面角的余弦值為

1

3

．
（3）∵該多面體為長方體削去四個全等的三棱錐，
每個三棱錐的體積都為

1

3

•

1

2

•

a

2

•

a

2

•a=

1

24

a3．
∴此多面體的體積V=a3-4•

1

24

a3=

5

6

a3．

點評：本題考查了線面所成角、二面角的度量和多面體的體積等有關知識，體積的求解在最近兩年高考中頻繁出現，值得重視．