Question

已知二次函數f(x)=ax²+bx+c(a,b,c均為實數),滿足a-b+c=0，對于任意實數x都有f (x)-x≥0，并且當x∈（0，2）時,有f (x)≤.
（1）求f (1)的值；
（2）證明：ac≥；
（3）當x∈[-2，2]且a+c取得最小值時，函數F(x)=f (x)-mx (m為實數)是單調的，求證：m≤或m≥.

Answer 1

（1）f (1)=1.
（2）見解析
（3）見解析

（1）∵對于任意x∈R，都有f (x)-x≥0,且當x∈(0,2)時,
有f (x) ≤.令x=1
∴1≤f (1) ≤.
即f (1)="1.·······················" 5分
（2） 由a-b+c=0及f (1)=1.
有,可得b=a+c=.·············· 7分
又對任意x,f(x)-x≥0,即ax²-x+c≥0.
∴a＞0且△≤0.
即-4ac≤0,解得ac≥.················ 9分
（3） 由(2)可知a＞0,c＞0.
a+c≥2≥2·=.················ 10分
當且僅當時等號成立.此時
a=c=.························
∴f (x)= x²+x+,
F (x)=f (x)-mx=[x²+(2-4m)x+1].············· 12分
當x∈[-2,2]時，f (x)是單調的，所以F (x)的頂點一定在[-2，2]的外邊.
∴≥2.····················· 13分
解得m≤-或m≥. …………………………………………………………..14分