Question

【題目】如圖所示，正四棱錐P﹣ABCD中，側(cè)棱PA與底面ABCD所成的角的正切值為．

（1）求側(cè)面PAD與底面ABCD所成的二面角的大小；

（2）若E是PB的中點，求異面直線PD與AE所成角的正切值；

（3）問在棱AD上是否存在一點F，使EF⊥側(cè)面PBC，若存在，試確定點F的位置；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）∠PMO=60°；（2）；（3）F為四等分點

【解析】試題分析：（1）取AD中點M，設(shè)PO⊥面ABCD，連MO、PM，則∠PMO為二面角的平面角，設(shè)AB=a，則可利用tan∠PAO表示出AO和PO，進而根據(jù)求得tan∠PMO的值，則∠PMO可知．

（2）連OE，OE∥PD，∠OEA為異面直線PD與AE所成的角．根據(jù)AO⊥BO，AO⊥PO判斷出AO⊥平面PBD，進而可推斷AO⊥OE，進而可知進而可知∠AEO為直線PD與AE所成角，根據(jù)勾股定理求得PD，進而求得OE，則tan∠AEO可求得．

（3）延長MO交BC于N，取PN中點G，連EG、MG．先證出平面PMN和平面PBC垂直，再通過已知條件證出MG⊥平面PBC，取AM中點F，利用EG∥MF，推斷出，可知EF∥MG．最后可推斷出EF⊥平面PBC．即F為四等分點．

解：（1）取AD中點M，設(shè)PO⊥面ABCD，連MO、PM，則∠PMO為二面角的平面角，∠PAO為側(cè)棱PA與底面ABCD所成的角，，

設(shè)，PO=AOtan∠PAO=，

∴∠PMO=60°．

（2）連OE，OE∥PD，∠OEA為異面直線PD與AE所成的角．

．

∵

∴

（3）延長MO交BC于N，取PN中點G，連EG、MG．

．

又

取AM中點F，∵EG∥MF∴

∴EF∥MG．

∴EF⊥平面PBC．

即F為四等分點