Question

（本小題滿分14分）如圖，在三棱錐中，底面，
點，分別在棱上，且  
（1）求證：平面；
（2）當為的中點時，求與平面所成的角的正弦值；
（3）是否存在點使得二面角為直二面角？并說明理由.

Answer 1

（1）略
（2）
（3）存在點E使得二面角是直二面角

解法1:
（1）∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥BC.
又，∴AC⊥BC.
∴BC⊥平面PAC.
（2）∵D為PB的中點，DE//BC，
∴，
又由（1）知，BC⊥平面PAC，
∴DE⊥平面PAC，垂足為點E.
∴∠DAE是AD與平面PAC所成的角，
∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AB，又PA=AB，
∴△ABP為等腰直角三角形，∴，
∴在Rt△ABC中，，∴.
∴在Rt△ADE中，，
（3）∵AE//BC，又由（1）知，BC⊥平面PAC，∴DE⊥平面PAC，
又∵AE平面PAC，PE平面PAC，∴DE⊥AE，DE⊥PE，
∴∠AEP為二面角的平面角，
∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AC，∴.
∴在棱PC上存在一點E，使得AE⊥PC，這時，
故存在點E使得二面角是直二面角.
解法2:如圖，以A為原點建立空間直角坐標系，
設，由已知可得
.
（1）∵，
∴，∴BC⊥AP.
又∵，∴BC⊥AC，∴BC⊥平面PAC.
（2）∵D為PB的中點，DE//BC，∴E為PC的中點，
∴，
∴又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC，∴∴DE⊥平面PAC，垂足為點E.
∴∠DAE是AD與平面PAC所成的角，
∵，
∴.
∴與平面所成的角的正弦值為.