Question

【題目】在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=2，E為BB1中點．

（1）證明：AC⊥D1E；
（2）求DE與平面AD1E所成角的正弦值；
（3）在棱AD上是否存在一點P，使得BP∥平面AD1E？若存在，求DP的長；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接BD

∵ABCD﹣A1B1C1D1是長方體，∴D1D⊥平面ABCD，

又AC平面ABCD，∴D1D⊥AC

在長方形ABCD中，AB=BC，∴BD⊥AC

又BD∩D1D=D，∴AC⊥平面BB1D1D，

而D1E平面BB1D1D，∴AC⊥D1E

（2）解：如圖建立空間直角坐標系Dxyz，則A（1，0，0），D1（0，0，2），E（1，1，1），B（1，1，0），

∴

設平面AD1E的法向量為 ，則 ，即

令z=1，則

∴

∴DE與平面AD1E所成角的正弦值為

（3）解：假設在棱AD上存在一點P，使得BP∥平面AD1E．

設P的坐標為（t，0，0）（0≤t≤1），則

∵BP∥平面AD1E

∴ ，即 ，

∴2（t﹣1）+1=0，解得 ，

∴在棱AD上存在一點P，使得BP∥平面AD1E，此時DP的長 ．

【解析】（1）利用線面垂直的判定定理，證明AC⊥平面BB1D1D，即可得到AC⊥D1E；（2）建立空間直角坐標系，確定面AD1E的法向量，利用向量的夾角公式，即可求DE與平面AD1E所成角的正弦值；（3）利用BP∥平面AD1E，可得 ，利用向量的數量積公式，可得結論．
【考點精析】本題主要考查了直線與平面平行的判定和直線與平面垂直的性質的相關知識點，需要掌握平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行；垂直于同一個平面的兩條直線平行才能正確解答此題．