Question

數列{a_n}中a₁=2，an+1=

1

2

(an+

1

an

)，{b_n}中bn • log9

an+1

an-1

=1，n∈N*．
（1）求證：數列{b_n}為等比數列，并求出其通項公式；
（2）當n≥3（n∈N^*）時，證明：

1

4 b1 +(-1)

+

2

4 b2 +(-1)2

+

3

4 b3 +(-1)3

+…+

n

4 bn +(-1)n

＜3．

Answer 1

分析：（1）根據{b_n}中bn • log9

an+1

an-1

=1，n∈N*，an+1=

1

2

(an+

1

an

)，可得bn+1=

1

2

bn，從而可證數列{b_n}為等比數列，并求出其通項公式；
（2）先將通項化簡可得

4

bn

=

1

( 1 2 )n

=2n，從而有Cn=

n

4 bn +(-1)n

=

n

2n+(-1)n

，先證：

n

2n+(-1)n

＜

n+1

2n

 (n≥3)
，從而有

1

4 b1 +(-1)

+

2

4 b2 +(-1)2

+

3

4 b3 +(-1)3

+…+

n

4 bn +(-1)n

＜

2

21

+

3

22

+

4

23

+…+

n+1

2n

令T=

2

21

+

3

22

+

4

23

+…+

n+1

2n

①

1

2

T=

2

22

+

3

23

+…+

n

2n

+

n+1

2n+1

②，利用錯位相減法即可求解．

解答：證明：（1）由bn+1 • log9

an+1+1

an+1-1

=1⇒bn+1 • log9

1 2 (an+ 1 an )+1

1 2 (an+ 1 an )-1

=1⇒bn+1 • log9(

an+1

an-1

)2=1⇒2bn+1 • log9

an+1

an-1

=1又bn • log9

an+1

an-1

=1
∴bn+1=

1

2

bn
又n=1時，b1 • log9

a1+1

a1-1

=1⇒b1=2
∴{b_n}為等比數列，b₁=2，q=

1

2

，∴bn=2 • (

1

2

)n-1=(

1

2

)n-2
（2）∵bn=(

1

2

)n-2=4 • (

1

2

)n⇒

4

bn

=

1

( 1 2 )n

=2n
∴Cn=

n

4 bn +(-1)n

=

n

2n+(-1)n

先證：

n

2n+(-1)n

＜

n+1

2n

 (n≥3)
當n為偶數時，顯然成立；
當n為奇數時，即證

n

2n-1

＜

n+1

2n

?n • 2n＜n • 2n-n+2n-1?2n＞n+1
而當n≥3時，2ⁿ＞n+1也成立，故

n

2n+(-1)n

＜

n+1

2n

  (n≥3)
∴

1

4 b1 +(-1)

+

2

4 b2 +(-1)2

+

3

4 b3 +(-1)3

+…+

n

4 bn +(-1)n

＜

2

21

+

3

22

+

4

23

+…+

n+1

2n

令T=

2

21

+

3

22

+

4

23

+…+

n+1

2n

①

1

2

T=

2

22

+

3

23

+…+

n

2n

+

n+1

2n+1

②
①-②：

1

2

T=1+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

-

n+1

2n+1

⇒T=2+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

-

n+1

2n

=2+

1 2 [1-( 1 2 )n-1]

1- 1 2

-

n+1

2n

=3-(

1

2

)n-1-

n+1

2n

＜3
∴

1

4 b1 +(-1)

+

2

4 b2 +(-1)2

+

3

4 b3 +(-1)3

+…+

n

4 bn +(-1)n

＜3

點評：本題以數列為載體，考查等比數列，考查數列與不等式，考查錯位相減法，綜合性強，難度大．