Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面△ABC為等腰直角三角形，∠B=90°，D為棱BB₁上一點，且平面DA₁C⊥平面AA₁C₁C．
（Ⅰ）求證：D點為棱BB₁的中點；
（Ⅱ）判斷四棱錐A₁-B₁C₁CD和C-A₁ABD的體積是否相等，并證明．

Answer 1

解：（1）過點D作DE⊥A₁C于E點，取AC的中點F，連BF，EF．
∵面DA₁C⊥面AA₁C₁C且相交于A₁C，面DA₁C內的直線DE⊥A₁C，
∴DE⊥面AA₁C₁C．（3分）
又∵面BAC⊥面AA₁C₁C且相交于AC，且△ABC為等腰三角形，易知BF⊥AC，
∴BF⊥面AA₁C₁C．由此知：DE∥BF，從而有D，E，F，B共面，又易知BB₁∥面AA₁C₁C，
故有DB∥EF，從而有EF∥AA₁，又點F是AC的中點，
所以，所以D點為棱BB₁的中點．（6分）

（2）相等．ABC-A₁B₁C₁為直三棱柱，
∴BB₁⊥A₁B₁，BB₁⊥BC，
又A₁B₁⊥B₁C₁，BC⊥AB，
∴A₁B₁⊥平面B₁C₁CD，BC⊥平面A₁ABD（9分）
∴
∵D為BB₁中點，
∴=（12分）
分析：（Ⅰ）過點D作DE⊥A₁C于E點，取AC的中點F，連BF，EF，推出，即可證明D點為棱BB₁的中點；
（Ⅱ）求出四棱錐A₁-B₁C₁CD的底面面積和高，再計算C-A₁ABD的體積，即可判斷體積相等．
點評：本題考查平面與平面垂直的性質，棱柱、棱錐、棱臺的體積，考查分析問題解決問題的能力，是中檔題．