Question

已知坐標(biāo)平面內(nèi)：，：.動(dòng)點(diǎn)P與外切與內(nèi)切.
（1）求動(dòng)圓心P的軌跡的方程;
（2）若過D點(diǎn)的斜率為2的直線與曲線交于兩點(diǎn)A、B,求AB的長(zhǎng);
（3）過D的動(dòng)直線與曲線交于A、B兩點(diǎn)，線段中點(diǎn)為M，求M的軌跡方程.

Answer 1

（1）；（2）；（3）

試題分析：（1）由圓的內(nèi)切與外切的圓心距與圓的半徑的關(guān)系，根據(jù)橢圓的定義可求出橢圓的方程.
（2）由過點(diǎn)D的直線及斜率可寫出該直線方程.再聯(lián)立橢圓方程即可得通過弦長(zhǎng)公式即可求得AB弦的長(zhǎng)度.
（3）有點(diǎn)差法可得到一個(gè)關(guān)于中點(diǎn)坐標(biāo)和斜率的關(guān)系的等式，同時(shí)再利用斜率的另一種表示形式，就如中點(diǎn)與點(diǎn)D再得到斜率的一個(gè)等式，消去相應(yīng)的k從而可得一個(gè)關(guān)于中點(diǎn)x,y的一個(gè)等式.即為所求的中點(diǎn)的軌跡方程.
試題解析：(1)依題意可得，當(dāng)令動(dòng)圓半徑為r時(shí)，有，易得.由橢圓的定義可知，點(diǎn)P的軌跡是以C（-1,0）、D（1,0）為焦點(diǎn)的橢圓.令橢圓方程為.所以點(diǎn)P的軌跡方程為.
（2）過點(diǎn)D斜率為2的直線方程為：由，消去y得到.所以.
(3)據(jù)點(diǎn)差法結(jié)果可知
若令M坐標(biāo)為（x,y）,則有 ，化簡(jiǎn)可得：