Question

【題目】已知橢圓的離心率為,拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)是,是拋物線(xiàn)上的點(diǎn),H為直線(xiàn)上任一點(diǎn),A,B分別為橢圓C的上下頂點(diǎn),且A,B,H三點(diǎn)的連線(xiàn)可以構(gòu)成三角形.

(Ⅰ)求橢圓C的方程;

(Ⅱ)直線(xiàn)HA,HB與橢圓C的另一交點(diǎn)分別為點(diǎn)D,E,求證:直線(xiàn)DE過(guò)定點(diǎn).

Answer 1

【答案】(Ⅰ) . (Ⅱ)見(jiàn)解析

【解析】

(Ⅰ)先求出拋物線(xiàn)方程，然后列出的方程組，解之得橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程．

(Ⅱ) 設(shè)點(diǎn)，求得方程，與橢圓聯(lián)立求得坐標(biāo)，寫(xiě)出直線(xiàn)方程，由方程觀察得定點(diǎn)．

解(Ⅰ)由拋物線(xiàn)焦點(diǎn)為,得拋物線(xiàn)方程為

由題意知,,

解得,

∴橢圓C的方程為.

(Ⅱ)設(shè)點(diǎn),易知,,

∴直線(xiàn)HA的方程為,直線(xiàn)HB的方程為.

聯(lián)立,得,

∴,,同理可得,,

∴直線(xiàn)DE的斜率為,∴直線(xiàn)DE的方程為

,

即,

∴直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn).

即直線(xiàn)DE過(guò)定點(diǎn).