Question

如圖，在Rt△ABC中，AB=BC=4，點E、F分別在線段AB、AC上，且EF∥BC，將△AEF沿EF折起到△PEF的位置，使得二面角P-EF-B的大小為60°．
（1）求證：EF⊥PB；
（2）當點E為線段AB的中點時，求PC與平面BCFE所成角的大小．

Answer 1

分析：（1）欲證EF⊥PB，可先證EF⊥平面PEB，根據直線與平面垂直的判定定理可知只需證EF與平面PEB內兩相交直線垂直，而EF⊥EB，EF⊥EP，EB∩EP=E，滿足定理條件；
（2）過點P作PD⊥EB交EB于D，連接DC，根據線面所成角的定義可知∠PCD是PC與平面BCFE所成的角，根據∠PEB是二面角P-EF-B的平面角求出PD，在Rt△PCD中求出此角正切值即可．

解答：解：（1）證明：在Rt△ABC中，EF∥BC，
∴EF⊥AB．
∴EF⊥EB，EF⊥EP．
又∵EB∩EP=E，
∴EF⊥平面PEB．
又∵PB?平面PEB，
∴EF⊥PB．

（2）過點P作PD⊥EB交EB于D，連接DC．
∵EF⊥平面PEB，PD?平面PEB，
∴EF⊥PD．
∵EF∩EB=E，
∴PD⊥平面BCFE．
∴CD是PC在平面BCFE內的射影．
∴∠PCD是PC與平面BCFE所成的角．
∵點E為線段AB的中點，AB=BC=4，
∴PE=EB=2．
∵EF⊥EB，EF⊥EP，
∴∠PEB是二面角P-EF-B的平面角．
∵二面角P-EF-B的大小為60°，
∴∠PEB=60°．
在Rt△PDE中，PD=PE•sin60°=

3

，DE=PE•cos60°=1
∴BD=1．
在Rt△DBC中，DC=

12+42

=

17

．
∴在Rt△PCD中，tan∠PCD=

PD

DC

=

51

17

．
∴PC與平面BCFE所成角的大小為arctan

51

17

．

點評：本題主要考查了直線與平面所成的角，以及二面角及其度量，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力，屬于中檔題．