Question

點(diǎn)A、B分別是橢圓

x2

36

+

y2

20

=1長(zhǎng)軸的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)F是橢圓的右焦點(diǎn)．點(diǎn)P在橢圓上，且位于x軸上方，PA⊥PF．
（1）求P點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）設(shè)M是橢圓長(zhǎng)軸AB上的一點(diǎn)，M到直線AP的距離等于|MB|，求橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn)M的距離d的最小值．

Answer 1

分析：（1）先求出PA、F的坐標(biāo)，設(shè)出P的坐標(biāo)，求出

AP

、

FP

的坐標(biāo)，由題意可得

x2 36 + y2 20 =1 (x+6)(x-4)+y2=0

，且y＞0，
解方程組求得點(diǎn)P的坐標(biāo)．
（2）求出直線AP的方程，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)，由M到直線AP的距離等于|MB|，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，再求出橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn)M的
距離d的平方得解析式，配方求得最小值．

解答：解：（1）由已知可得點(diǎn)A（-6，0），F(xiàn)（4，0），設(shè)點(diǎn)P（x，y），則

AP

=（x+6，y），

FP

=（x-4，y）．
由已知可得

x2 36 + y2 20 =1 (x+6)(x-4)+y2=0

，2x²+9x-18=0，解得x=

3

2

，或x=-6．
由于y＞0，只能x=

3

2

，于是y=

5 3

2

．∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是（

3

2

，

5 3

2

）．
（2）直線AP的方程是 

y-0

5 3 2 -0

=

x+6

3 2 +6

，即 x-

3

y+6=0．  
設(shè)點(diǎn)M（m，0），則M到直線AP的距離是

|m+6|

2

．
于是

|m+6|

2

=|6-m|，又-6≤m≤6，解得m=2，故點(diǎn)M（2，0）．
設(shè)橢圓上的點(diǎn)（x，y）到點(diǎn)M的距離為d，有 d²=（x-2）²+y² =x²-4x+4+20-

5

9

x² =

4

9

（x-

9

2

）²+15，
∴當(dāng)x=

9

2

時(shí)，d取得最小值

15

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)和點(diǎn)到直線的距離公式，兩個(gè)向量垂直的性質(zhì)，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，是解題的難點(diǎn)．