Question

【題目】已知過點且斜率為的直線與圓：交于點兩點．

（1）求的取值范圍；

（2）請問是否存在實數k使得（其中為坐標原點），如果存在請求出k的值，并求；如果不存在，請說明理由。

Answer 1

【答案】（1）（2）|MN|=2

【解析】

試題分析：（1）由題意可得，直線l的斜率存在，用點斜式求得直線l的方程，根據圓心到直線的距離等于半徑求得k的值，可得滿足條件的k的范圍；（2）由題意可得，經過點M、N、A的直線方程為y=kx+1，根據直線和圓相交的弦長公式進行求解

試題解析：（1）由題意可得，直線l的斜率存在，

設過點A（0，1）的直線方程：y=kx+1，即：kx-y+1=0．

由已知可得圓C的圓心C的坐標（2，3），半徑R=1．

故由，解得：．

故當，過點A（0，1）的直線與圓C：（x-2）2+（y-3）2=1相交于M，N兩點．

（2）設M；N，

由題意可得，經過點M、N、A的直線方程為y=kx+1，代入圓C的方程（x-2）2+（y-3）2=1，

可得，

∴，

∴，

由，解得 k=1，

故直線l的方程為 y=x+1，即 x-y+1=0．

圓心C在直線l上，MN長即為圓的直徑．

所以|MN|=2