Question

【題目】已知函數f（x）=ln（ax+b）+ex﹣1（a≠0）．
（1）當a=﹣1，b=1時，判斷函數f（x）的零點個數；
（2）若f（x）≤ex﹣1+x+1，求ab的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：當a=﹣1，b=1時，f（x）=ln（﹣x+1）+ex﹣1，定義域為{x|x＜1}，

當x≤0時，f（x）=ln（﹣x+1）+ex﹣1＞0，所以函數f（x）在（﹣∞，0]內無零點；

當0＜x＜1時， ，因為 ，ex﹣1＜1，所以 ，

說明函數f（x）在（0，1）上單調遞減，

又f（0）=e﹣1＞0，當 時， ，

所以函數f（x）在（0，1）內有且只有一個零點；

綜上，函數f（x）的零點個數是1；

（2）解：若ln（ax+b）+ex﹣1≤ex﹣1+x+1，即ln（ax+b）≤x+1，設g（x）=ln（ax+b）﹣x﹣1，

若a＜0，則當x→﹣∞時，顯然g（x）＞0，故不符合題意，所以a＞0．

（ax+b＞0），

當 時，g'（x）＞0，所以g（x）在 上單調遞增；

當 時，g'（x）＜0，所以g（x）在 上單調遞減；

從而 ，

由題意可知 ，所以b≤2a﹣alna，

此時ab≤2a2﹣a2lna，令h（a）=2a2﹣a2lna，h'（a）=3a﹣2alna，

可知h（a）在 上單調增，在 上單調減，

所以 ，故ab的最大值為 ．

【解析】（1）當a=﹣1，b=1時，化簡函數的解析式，求出定義域，通過當x≤0時，f（x）＞0，說明函數f（x）在（﹣∞，0]內無零點；當0＜x＜1時，通過函數的導數，利用函數的單調性零點判定定理，推出結果．（2）不等式化為ln（ax+b）+ex﹣1≤ex﹣1+x+1，即ln（ax+b）≤x+1，設g（x）=ln（ax+b）﹣x﹣1，說明a＞0，清楚函數的 （ax+b＞0），當 時，判斷函數的單調性，當 時，判斷函數的單調性求出函數的最值，推出ab≤2a2﹣a2lna，令h（a）=2a2﹣a2lna，h'（a）=3a﹣2alna，求解函數的最大值即可．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用函數的極值與導數的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值．