Question

如圖所示，邊長為2的等邊△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC=2

2

，M為BC的中點．
（1）證明：AM⊥PM；
（2）求二面角P-AM-D的大小．

Answer 1

分析：（1）利用勾股定理的逆定理、線面與面面垂直的判定和性質定理即可證明；
（2）利用三垂線定理或線面垂直的性質定理及二面角的定義、正切函數即可得出．

解答：（1）證明：如圖所示，取CD的中點E，連接PE，EM，EA，
∵△PCD為正三角形，
∴PE⊥CD，PE=PDsin∠PDE=2sin60°=

3

．
∵平面PCD⊥平面ABCD，
∴PE⊥平面ABCD，而AM?平面ABCD，∴PE⊥AM．
∵四邊形ABCD是矩形，
∴△ADE，△ECM，△ABM均為直角三角形，
由勾股定理可求得EM=

3

，AM=

6

，AE=3，
∴EM²+AM²=AE²．∴AM⊥EM．
又PE∩EM=E，∴AM⊥平面PEM，∴AM⊥PM．
（2）解：由（1）可知：EM⊥AM，PM⊥AM，
∴∠PME是二面角P-AM-D的平面角．
在Rt△PEM中，tan∠PME=

PE

EM

=

3

3

=1，∴∠PME=45°．
∴二面角P-AM-D的大小為45°．

點評：熟練掌握線面與面面垂直的判定和性質定理、三垂線定理、二面角的定義、正切函數及勾股定理的逆定理是解題的關鍵．