Question

已知平面內一動點 P到定點的距離等于它到定直線的距離，又已知點 O（0，0），M（0，1）．
（1）求動點 P的軌跡C的方程；
（2）當點 P（x，y）（x≠0）在（1）中的軌跡C上運動時，以 M P為直徑作圓，求該圓截直線所得的弦長；
（3）當點 P（x，y）（x≠0）在（1）中的軌跡C上運動時，過點 P作x軸的垂線交x軸于點 A，過點 P作（1）中的軌跡C的切線l交x軸于點 B，問：是否總有 P B平分∠A PF？如果有，請給予證明；如果沒有，請舉出反例．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據拋物線的定義判定出動點 P是以為焦點以為準線的拋物線，直接寫出其方程為x²=2y
（2）根據圓的標準方程求出圓的方程，根據直線截圓的弦長公式弦長l=2求出該圓截直線所得的弦長
（3）根據導數的幾何意義求出切線的斜率，利用直線的點斜式求出切線l的方程為，利用點到直線的距離公式求出B到PA的距離為，再求出點B到直線PF的距離，根據角平分線的判定得到總有PB平分∠APF．
解答：解：（1）根據題意，動點 P是以為焦點以為準線的拋物線，
所以p=1開口向上，
所以動點 P的軌跡C的方程為x²=2y
（2）以 M P為直徑的圓的圓心（），|MP|===
所以圓的半徑r=，圓心到直線的距離d=||=，
故截得的弦長l=2==1
（3）總有 P B平分∠A PF．
證明：因為
所以，y^′=x，．
所以切線l的方程為，
令y=0得，
所以B（）
所以B到PA的距離為
下面求直線PF的方程，
因為
所以直線PF的方程為整理得
所以點B到直線PF的距離
所以 PB平分∠APF．
點評：本題考查導數的幾何意義；直線與圓相交的弦長公式；點到直線的距離公式以及角平分線的判定，屬于一道綜合題．