Question

設點P（x，y）（x≥0）為平面直角坐標系xOy中的一個動點（其中O為坐標原點），點P到定點M（1，0）的距離比點P到直線x=-2的距離小1，過點M的直線l與點P的軌跡方程交于A、B兩點．
（Ⅰ）求點P的軌跡方程；
（Ⅱ）是否存在直線l，使得以線段AB為直徑的圓恰好經過坐標原點？若存在，請求出直線l的方程，若不存在，請說明理由．
（III）求證：S_△OAB=S_△OAM•|BM|．

Answer 1

分析：（I）利用拋物線的定義，即可得到點P的軌跡方程；
（Ⅱ）分類討論，設出直線方程，代入拋物線方程，驗證

OA

•

OB

=0是否成立即可；
（III）S_△OAB=

1

2

•|OM|•|y1-y2|，S_△OAM•|BM|=

1

2

•|OM|•|y1|•(x2+1)，化簡可結論．

解答：（Ⅰ）解：∵點P到定點M（1，0）的距離比點P（x，y）（x≥0）到直線x=-2的距離小1，
∴由拋物線的定義，可得點P的軌跡方程為y²=4x；
（Ⅱ）解：當直線l的斜率不存在時，由題設可知直線l的方程是x=1，與拋物線方程聯立，可得A（1，2），B（1，-2），不滿足

OA

•

OB

=0；
當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為y=k（x-1），代入拋物線方程，可得k²x²-（2k²+4）x+k²=0
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∴x₁+x₂=

2k2+4

k2

，x₁x₂=1
∴y₁y₂=-4，∴x₁x₂+y₁y₂=-3≠0，不滿足

OA

•

OB

=0
∴不存在直線l，使得以線段AB為直徑的圓恰好經過坐標原點；
（III）證明：∵S_△OAB=

1

2

•|OM|•|y1-y2|=

1

2

|y1-y2|=

|k(x1-x2)|

2

S_△OAM•|BM|=

1

2

•|OM|•|y1|•(x2+1)=

1

2

•|k(x1-1)|•(x2+1)=

|k(x1x2+x1-x2-1)|

2

|k(x1-x2)|

2

∴S_△OAB=S_△OAM•|BM|．

點評：本題考查拋物線的定義，考查直線與拋物線的位置關系，考查三角形面積的計算，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．