Question

已知函數f（x）=-x³+ax²+b（a，b∈R）．
（1）若函數y=f（x）的圖象上任意不同的兩點的連線的斜率小于1，求證：-

3

＜a＜

3

．
（2）若x∈[0，1]，則函數y=f（x）的圖象上的任意一點的切線的斜率為k，求證：1≤a≤

3

是|k|≤1成立的充要條件．

Answer 1

分析：（1）設函數y=f（x）的圖象上任意不同的兩點P₁（x₁，y₁）、P₂（x₂，y₂），不妨設x₁＞x₂，利用圖象上任意不同的兩點的連線的斜率小于1，推出：x₁²+（x₂-a）x₁+x₂²-ax₂+1＞0，通過兩次△＜0推出-

3

＜a＜

3

（2）通過函數的導數就是函數y=f（x）的圖象上的任意一點的切線的斜率為k，利用|k|≤1，與1≤a≤

3

相互充要故選證明即可．

解答：解：（1）設函數y=f（x）的圖象上任意不同的兩點P₁（x₁，y₁）、P₂（x₂，y₂），
不妨設x₁＞x₂，
則

y1-y2

x1-x2

＜1，即

- x 1 3 +a x 1 2 + x 2 3 -a x 2 2

x1-x2

＜1，
∴

-(x1-x2)( x 2 1 +x1x2+ x 2 2 )+a(x1-x2)(x1+x2)

x1-x2

＜1
整理得：x₁²+（x₂-a）x₁+x₂²-ax₂+1＞0
∵x₁∈R
∴△=（x₂-a）²-4（x₂²-ax₂+1）＜0即3x₂²-2ax₂-a²+4＞0
∵x₂∈R
∴△=4a²-12（-a²+4）＜0即a²-3＜0
∴-

3

＜a＜

3

（2）k=f'（x）=-3x²+2ax，則當x∈[0，1]時，|k|≤1?-1≤-3x²+2ax≤1
?

0≤ a 3 ≤1 |f′(1)|=|-3+2a|≤1 |f( a 3 )|= a2 3 ≤1

或

a 3 ＞1 |f′(1)|=-3+2a≤1

或

a 3 ＜0 |f′(1)|=|-3+2a|≤1

解得：1≤a≤

3

，故|k|≤1成立的充要條件是1≤a≤

3

．

點評：本題考查函數的導數與切線的斜率的關系，充要條件的應用，考查轉化思想，計算能力．