Question

已知橢圓E₁： E₂：．E₁與E₂有相同的離心率，過點F（）的直線l與E₁，E₂依次交于A，C，D，B四點（如圖）．當直線l過E₂的上頂點時，直線l的傾斜角為．
（1）求橢圓E₂的方程；
（2）求證：|AC|=|DB|；
（3）若|AC|=1，求直線l的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據當直線l過E₂的上頂點時，直線l的傾斜角為，且橢圓的離心率是，建立方程，即可求得橢圓E₂的方程；
（2）當直線l垂直x軸時，易求得|AC|=|DB|．當直線l不垂直x軸時，設l：y=k（x-），將直線的方程代入橢圓的方程，消去y得到關于x的一元二次方程，再結合根系數的關系得出x₁+x₂=x₃+x₄從而有|AC|=|DB|．
（3）由（2）知，|AC|=|CD|+2，先分類討論：當直線l垂直x軸時，不合要求；當直線l不垂直x軸時，設l：y=k（x-），由（2）知，x₁+x₂=x₃+x₄，x₁x₂，x₃x₄，利用弦長公式即可得關于k的方程，從而解決問題．
解答：解：（1）∵b=1，，∴a=2，b=1，
因此橢圓E₂的方程為x²+y²=1．
（2）當直線l垂直x軸時，易求得A（-，-），C（-，-），D（-，），B（-，）
因此|AC|=|DB|．
當直線l不垂直x軸時，設l：y=k（x-）
由
得（1+4k²）x²+8k²x+12k²-4=0     ①，
由
得（1+4k²）x²+8k²x+12k²-10=0   ②，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），則x₃、x₄是方程①的解，
x₁、x₂是方程②的解．∵x₁+x₂=x₃+x₄=，
線段AB，CD的中點重合，∴|AC|=|DB|．
（3）．由（2）知，|AC|=|CD|+2，
當直線l垂直x軸時，不合要求；
當直線l不垂直x軸時，設l：y=k（x-），由（2）知，
x₁+x₂=x₃+x₄=，x₁x₂=，
x₃x₄=，|CD|==，
|AB|==，
∴+2=，
化簡可得：8k⁴-2k²-1=（4k²+1）（2k²-1）=0，
∴k=，
∴l：y=（x+）．
點評：本題考查橢圓與橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，正確運用韋達定理是關鍵．