Question

【題目】已知橢圓過點且離心率為.

（1）求橢圓C的方程；

（2）是否存在過點的直線與橢圓C相交于A，B兩點，且滿足．若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在這樣的直線，直線方程為：.

【解析】

（1）根據已知條件利用及即可求得橢圓的方程；

（2）根據，利用向量坐標化可得，再分類討論，將直線方程與橢圓方程聯立，利用韋達定理，即可求得直線的方程．

解：（1）由已知點代入橢圓方程得

由得可轉化為

由以上兩式解得

所以橢圓C的方程為：.

（2）存在這樣的直線.

當l的斜率不存在時，顯然不滿足,

所以設所求直線方程代入橢圓方程化簡得：

① .②

,

設所求直線與橢圓相交兩點

由已知條件可得,③

綜合上述①②③式子可解得符合題意,

所以所求直線方程為：.