Question

（1）求證：C_n¹+2C_n²+3C_n³+…+nC_nⁿ=n•2ⁿ-¹ （n∈N*）
（2）設n是滿足C_n⁰+2C_n¹+3C_n²+…+（n+1）•C_nⁿ＜1000的最大正整數，求97ⁿ除以99的余數．
（3）當n∈N*且n＞1時，求證2＜（1+

1

n

）ⁿ＜3．

Answer 1

分析：（1）直接采用倒序相加法再結合組合數的性質即可證明結論；
（2）先對C_n⁰+2C_n¹+3C_n²+…+（n+1）•C_nⁿ進行整理，結合第一問的結論求出滿足C_n⁰+2C_n¹+3C_n²+…+（n+1）•C_nⁿ＜1000的最大正整數n；再根據97⁷=（99-2）⁷=C₇⁰•99⁷-C₇¹•99⁶•2+…+C₇⁶•99•2⁶-C₇⁷•2⁷，把問題轉化為-C₇⁷•2⁷除以99的余數即可；
（3）直接根據（1+

1

n

）ⁿ=c_n⁰+C_n¹•

1

n

+C_n²•(

1

n

)2+…+C_nⁿ•（

1

n

）ⁿ只用前兩項即可證明不等式的前半部分；再通過組合數的性質對等式右邊進行放縮即可證明右邊．

解答：證明：（1）記S=C_n¹+2C_n²+3C_n³+…+nC_nⁿ，
倒序則S=nC_nⁿ+（n-1）C_n^n-1+…+C_n¹ （2分）
∴2S=nc_n⁰+nC_n¹+…+nC_nⁿ=n•2ⁿ
∴S=n•2^n-1 …（2分）
解：（2）C_n⁰+2C_n¹+3C_n²+…+（n+1）C_nⁿ
=（C_n⁰+C_n¹+…C_nⁿ）+（C_n¹+2C_n²+3C_n³+…+nC_nⁿ） （1分）
=2ⁿ+n•2^n-1＜1000
由于7•2⁶+2⁷=576＜1000＜1280=8•2⁷+2⁸，
∴n=7  …（2分）
97⁷=（99-2）⁷=C₇⁰•99⁷-C₇¹•99⁶•2+…+C₇⁶•99•2⁶-C₇⁷•2⁷
∴97ⁿ除以99的余數即為-C₇⁷•2⁷除以99的余數70  （2分）
證明：（3）∵（1+

1

n

）ⁿ=c_n⁰+C_n¹•

1

n

+C_n²•(

1

n

)2+…+C_nⁿ•（

1

n

）ⁿ＞c_n⁰+C_n¹•

1

n

=2 （1分）
∵c_n⁰+C_n¹•

1

n

+C_n²•(

1

n

)2+…+C_nⁿ•（

1

n

）ⁿ
=2+

n(n-1)

2!

•

1

n2

+…+

n(n-1)(n-1)…2×1

n!

•

1

nn

＜2+

1

2!

+…+

1

n!

（2分）
＜2+

1

1×2

+…+

1

(n-1)n

=2+（1-

1

2

）+…+（

1

n-1

-

1

n

）
=3-

1

n

＜3 （2分）

點評：本題主要考查二項式定理的應用，屬于中等難度題型，在處理有關二項式定理有關系數問題時要熟記結論以及性質．