Question

已知函數f（x）=

1

2

sinx-

3

2

cosx（x∈[a，b]，a＜b）的值域為[-

1

2

，1]，設b-a的最大值為M，最小值為m，則M+m=（　　）

• A、

  π

  2

• B、π
• C、2π
• D、

  10π

  3

Answer 1

分析：化簡函數f（x）的解析式為sin（x-

π

3

），由題意結合函數的圖象求得 b-a最小值m，以及b-a的最大值M，即可
求得M+m的值．

解答：解：函數f（x）=

1

2

sinx-

3

2

cosx=sin（x-

π

3

），由于x∈[a，b]，a＜b）時，函數f（x）的值域為[-

1

2

，1]，
故當a-

π

3

=2kπ-

π

6

，且b-

π

3

=2kπ+

π

2

，k∈z時，b-a最小為m=

2π

3

．
故當a-

π

3

=2kπ-

π

6

，且b-

π

3

=2kπ+π+

π

6

，k∈z時，b-a最大為M=

4π

3

．
故M+m=2π，
故選 C．

點評：本題主要考查正弦函數的圖象和性質應用，求得m和M的值，是解題的關鍵，屬于中檔題．